un grand classique en probabilité
1. l’idée
- mettre en évidence que
- l’évident est loin d’être évident en probabilité
- la notion de hasard peut être contre-intuitive
- il faut rester très prudent
- l’évident est loin d’être évident en probabilité
- notre cher bertrand nous pose 1 problème simple et concret
- il propose ensuite 3 méthodes
- différentes
- simples et correctes
- ayant 1 résultat différent : 😂
- c’est extrêmement déstabilisant ; en probabilité (comme ailleurs)
- 1 problème doit être bien posé pour être résolu correctement
- s’il est mal posé, des erreurs importantes (par rapport à ce que l’on souhaite modéliser) peuvent survenir
mais sans plus attendre, voyons cela dans le détail …
2. le problème
2.1. construction de la figure et problème
- construire 1 cercle, pour simplifier de rayon 1
- construire 1 triangle équilatéral circonscrit à ce cercle
- choisir au hasard 1 corde du cercle
- quelle est la probabilité que cette corde soit plus grande que le côté du triangle ?
2.2. construire la corde au hasard
pour construire 1 corde, on a (je crois 😖) en gros 2 méthodes :
- 2 points distincts
- ou 1 point et 1 direction
mais pour construire 1 corde au hasard, on en a beaucoup plus
- car on doit en plus définir la notion de hasard que l’on souhaite utiliser !
- dans ce bel exemple célèbre de bertrand
- on pense alors faire 3 fois la même EA
- on construit en réalité des EP différents, et donc des EA différentes
- contre-intuitivement, on arrive alors logiquement a des résultats, tous corrects et tous différents
*EA : expérience aléatoire *EP : espace probabilisé
3. solution 1 : sélection d’1 point au hasard sur le cercle
3.1. explication
- pour construire la droite, il suffit de 2 points
- le 1er est fixé 1 de façon arbitraire (sans restriction de généralité) :
- 1 des sommets du triangle
- en effet, s’il n’est pas sur le sommet (ce qui est probable), il suffit de tourner le triangle pour qu’il le soit
- le 2ème est choisi de façon au hasard sur le cercle
- le 1er est fixé 1 de façon arbitraire (sans restriction de généralité) :
3.2. calcul mathématique
- on ne peut pas faire plus simple
- les sommet du triangle divise le cercle en 3 arcs identiques
- on a donc 1 chance sur 3 d’avoir une corde plus grande que le côté
3.3. simulation informatique
- on a choisit :
- 1 cercle de rayon 1
- 100 simulations
- pour cette réalisation, on obtient :
- f = 0.32
- on vise une valeur théorique de :
- 0.3333
- l’intervalle de fluctuation à 95% est :
- [ 0.23333 , 0.4333 ]
- ce qui semble convenir
4. solution 2 : sélection d’1 point au hasard sur le cercle
4.1. explication
- pour construire la corde
- on choisit (sans restriction de généralité) 1 rayon du cercle
- on choisit au hasard 1 point sur ce rayon
- ce point définit alors 1 unique corde perpendiculaire au rayon
- pour savoir si la corde est plus grande ou plus petite que le côté du triangle
- on pivote le triangle pour qu’un côté coupe perpendiculairement le rayon (de départ)
4.2. calcul mathématique
- pour le triangle équilatéral
- centre du cercle circonscrit (médiatrice) = centre du cercle (bissectrice)
- l’angle de 60° est coupé en 2 et sin(30°) = 0.5
- clairement, si le point choisi au hasard est
- entre le centre du cercle et le milieu du rayon, la corde est plus grande que le côté
- entre le milieu du rayon et le cercle, la corde est plus petite
- on a donc 1 chance sur 2 d’avoir une corde plus grande que le côté
4.3. simulation informatique
- on a choisit :
- 1 cercle de rayon 1
- 100 simulations
- pour cette réalisation, on obtient :
- f = 0.55
- on vise une valeur théorique de :
- 0.5
- l’intervalle de fluctuation à 95% est :
- [ 0.4 , 0.6 ]
- ce qui semble convenir
5. solution 3 : sélection d’1 point au hasard sur le cercle
5.1. explication
- pour construire la corde
- on choisit au hasard 1 point dans le cercle qui sera le milieu de la corde
- on trace ensuite le segment qui relie ce point au centre du cercle
- la corde est la perpendiculaire à ce segment
5.2. calcul mathématique
- ici encore, c’est extrêmement simple
- constatons que la corde est
- plus grande que le côté du triangle si le point est à l’intérieur du cercle de même centre et de rayon moitié
- plus petite sinon
- cet argument est lié au fait que le petit cercle est le cercle inscrit au triangle
- la probabilité d’être plus grand est aire_petit_cercle / aire_grand_cercle
- on a donc 1 chance sur 4 d’avoir une corde plus grande que le côté
- constatons que la corde est
5.3. simulation informatique
- on a choisit :
- 1 cercle de rayon 1
- 100 simulations
- pour cette réalisation, on obtient :
- f = 0.23
- on vise une valeur théorique de :
- 0.25
- l’intervalle de fluctuation à 95% est :
- [ 0.15 , 0.35 ]
- ce qui semble convenir
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