paradoxe de bertrand : 3 pour 1

un grand classique en probabilité

paradoxe de bertrand
numberphile : 1 vidéo claire sur le paradoxe de bertrand

1. l’idée

  • mettre en évidence que
    • l’évident est loin d’être évident en probabilité
      • la notion de hasard peut être contre-intuitive
      • il faut rester très prudent
  • notre cher bertrand nous pose 1 problème simple et concret
  • il propose ensuite 3 méthodes
    • différentes
    • simples et correctes
    • ayant 1 résultat différent : 😂
  • c’est extrêmement déstabilisant ; en probabilité (comme ailleurs)
    • 1 problème doit être bien posé pour être résolu correctement
    • s’il est mal posé, des erreurs importantes (par rapport à ce que l’on souhaite modéliser) peuvent survenir

mais sans plus attendre, voyons cela dans le détail …

2. le problème

2.1. construction de la figure et problème

problème de bertrand
  • construire 1 cercle, pour simplifier de rayon 1
  • construire 1 triangle équilatéral circonscrit à ce cercle
  • choisir au hasard 1 corde du cercle
  • quelle est la probabilité que cette corde soit plus grande que le côté du triangle ?

2.2. construire la corde au hasard

pour construire 1 corde, on a (je crois 😖) en gros 2 méthodes :

  • 2 points distincts
  • ou 1 point et 1 direction

mais pour construire 1 corde au hasard, on en a beaucoup plus

  • car on doit en plus définir la notion de hasard que l’on souhaite utiliser !
  • dans ce bel exemple célèbre de bertrand
    • on pense alors faire 3 fois la même EA
    • on construit en réalité des EP différents, et donc des EA différentes
    • contre-intuitivement, on arrive alors logiquement a des résultats, tous corrects et tous différents

*EA : expérience aléatoire *EP : espace probabilisé

3. solution 1 : sélection d’1 point au hasard sur le cercle

3.1. explication

  • pour construire la droite, il suffit de 2 points
    • le 1er est fixé 1 de façon arbitraire (sans restriction de généralité) :
      • 1 des sommets du triangle
      • en effet, s’il n’est pas sur le sommet (ce qui est probable), il suffit de tourner le triangle pour qu’il le soit
    • le 2ème est choisi de façon au hasard sur le cercle

3.2. calcul mathématique

  • on ne peut pas faire plus simple
    • les sommet du triangle divise le cercle en 3 arcs identiques
    • on a donc 1 chance sur 3 d’avoir une corde plus grande que le côté

3.3. simulation informatique

  • on a choisit :
    • 1 cercle de rayon 1
    • 100 simulations
  • pour cette réalisation, on obtient :
    • f = 0.32
  • on vise une valeur théorique de :
    • 0.3333
  • l’intervalle de fluctuation à 95% est :
    • [ 0.23333 , 0.4333 ]
    • ce qui semble convenir

4. solution 2 : sélection d’1 point au hasard sur le cercle

4.1. explication

  • pour construire la corde
    • on choisit (sans restriction de généralité) 1 rayon du cercle
    • on choisit au hasard 1 point sur ce rayon
    • ce point définit alors 1 unique corde perpendiculaire au rayon
  • pour savoir si la corde est plus grande ou plus petite que le côté du triangle
    • on pivote le triangle pour qu’un côté coupe perpendiculairement le rayon (de départ)

4.2. calcul mathématique

  • pour le triangle équilatéral
    • centre du cercle circonscrit (médiatrice) = centre du cercle (bissectrice)
    • l’angle de 60° est coupé en 2 et sin(30°) = 0.5
  • clairement, si le point choisi au hasard est
    • entre le centre du cercle et le milieu du rayon, la corde est plus grande que le côté
    • entre le milieu du rayon et le cercle, la corde est plus petite
  • on a donc 1 chance sur 2 d’avoir une corde plus grande que le côté

4.3. simulation informatique

  • on a choisit :
    • 1 cercle de rayon 1
    • 100 simulations
  • pour cette réalisation, on obtient :
    • f = 0.55
  • on vise une valeur théorique de :
    • 0.5
  • l’intervalle de fluctuation à 95% est :
    • [ 0.4 , 0.6 ]
    • ce qui semble convenir

5. solution 3 : sélection d’1 point au hasard sur le cercle

5.1. explication

  • pour construire la corde
    • on choisit au hasard 1 point dans le cercle qui sera le milieu de la corde
    • on trace ensuite le segment qui relie ce point au centre du cercle
    • la corde est la perpendiculaire à ce segment

5.2. calcul mathématique

  • ici encore, c’est extrêmement simple
    • constatons que la corde est
      • plus grande que le côté du triangle si le point est à l’intérieur du cercle de même centre et de rayon moitié
      • plus petite sinon
      • cet argument est lié au fait que le petit cercle est le cercle inscrit au triangle
    • la probabilité d’être plus grand est aire_petit_cercle / aire_grand_cercle
    • on a donc 1 chance sur 4 d’avoir une corde plus grande que le côté

5.3. simulation informatique

  • on a choisit :
    • 1 cercle de rayon 1
    • 100 simulations
  • pour cette réalisation, on obtient :
    • f = 0.23
  • on vise une valeur théorique de :
    • 0.25
  • l’intervalle de fluctuation à 95% est :
    • [ 0.15 , 0.35 ]
    • ce qui semble convenir

6. programme python

7. librement inspiré de

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