simuler pour calculer

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ex : lancé d’1pièce de monnaie 😍

• on lance une pièce de monnaie équilibrée
• quelle est la probabilité que l’on fasse Pile (Head) ?
• ici la réponse est assez simple mais détaillons un peu pour faire le lien entre calcul mathématique et simulation informatique

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math 😎

il est clair que :

• la pièce est équilibrée
• donc p = 0.5

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simulation 😎

modélisation via VA de Bernouilli

• le résultat du lancé de la pièce peut être modélisée par une VA X suivant une loi de Bernoulli de paramètre p
• 0 pour Face (échec) et 1 pour Pile (succès)
• (X_n) la suite de VA associée
• la loi des grands nombres indique que la moyenne des résultats obtenus (l’estimateur) tend vers l’espérance de la variable, à savoir p (qui est inconnue pour l’instant)
• après simulation (grand nombre de lancés), par lecture graphique, on obtient une approximation de la probabilité p

le programme python est ici

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ex 2 : lancé de 5 pièces de monnaie 😍

• on lance 5 pièces de monnaies équilibrées
• quelle est la probabilité que l’on fasse 3 Piles ?
• la réponse est aussi accessible rapidement par le calcul …

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math 😎

ici le résultat se modélise grâce à une VA Binomiale X de paramètre 5 et p = 0.5 :

• P(X=k) = coef_bin(5,k)*(0.5)^k*(0.5)^(5-k)
• on a donc : P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) = 5/16 + 5/32 +1/32 =16/32 = 0.5
• … le calcul commence à s’alourdir … bien qu’en rusant on doit pouvoir exploiter la symétrie du problème …

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simulation 😎

X_n suit B(5,0.5)

• l’espérance E(X_n)=n*p=5p
• après simulation (100 000 essais par exemple), on obtient :

import random as rnd

n = 100000
ne = 0

for i in range(n):
  heads = 0
  for j in range(5):                  # Generate the next event ; 1 if head and 0 if tail
    heads = heads + rnd.randint(0,1)
    if heads >= 3:                    # Check if event has occurred
      ne = ne + 1
prob = float(ne) / float(n)
print(prob)

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ex 3 : les anniversaires 😍

• dans un groupe de 20 personnes, quelle est la probabilité que 2 personnes soient nées le même jour ? (rép = 0.41)

import random as rnd

n = 10000
ne = 0

for i in range(n):
  echantillon = []
  set_echantillon = {}

  for j in range(20):
    echantillon.append(rnd.randint(1,365))
  #print(echantillon)
  set_echantillon = set(echantillon)
  #print(set_echantillon)
  if len(set_echantillon)<len(echantillon):
    ne = ne + 1
    #print(ne)

prob = round(ne/n,4)
print(prob)

• si vous souhaitez faire le calcul, voici une explication détaillée assez claire … moi je vais boire un café … see u guys !